已知(1+2x)n的二项展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,是它后一项系数的56.(1)求n的值;(2)求(1+2x)n的展开式中系数最大的项.
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已知(1+2x)n的二项展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,是它后一项系数的56.(1)求n的值;(2)求(1+2x)n的展开式中系数最大的项.
题型:不详
难度:
来源:
已知(1+2x)
n
的二项展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,是它后一项系数的
5
6
.
(1)求n的值;
(2)求(1+2x)
n
的展开式中系数最大的项.
答案
(1)根据题意,设该项为第r+1项,则有
C
rn
2
r
=2
C
r-1n
2
r-1
C
rn
2
r
=
5
6
C
r+1n
2
r+1
(2分)
即
C
rn
=
C
r-1n
C
rn
=
5
3
C
r+1n
亦即
n=2r-1
n!
r!(n-r)!
=
5
3
n!
(r+1)!(n-r-1)!
(4分)
解得
r=4
n=7.
∴n=7.(6分)
(2)设第r+1项系数最大,则有
C
r7
2
r
≥
C
r-17
2
r-1
C
r7
2
r
≥
C
r+17
2
r+1
,(8分)
即
2
C
r7
≥
C
r-17
C
r7
≥2
C
r+17
亦即
2
7!
r!(7-r)!
≥
7!
(r-1)!(7-r+1)!
7!
r!(7-r)!
≥2
7!
(r+1)!(7-r-1)!
(10分)
解得
2
r
≥
1
8-r
1
7-r
≥
2
r+1
,
∴
13
3
≤r≤
16
3
r=5
,(13分)
∴二项式展开式中系数最大的项为T
6
=C
7
5
(2x)
5
=672x
5
.(14分)
举一反三
已知数列a
n
是首项为1,公比为2的等比数列,f(n)=a
1
C
n
1
+a
2
C
n
2
+…+a
k
C
n
k
+…+a
n
C
n
n
(n∈N
*
)则f(n)=______.
题型:不详
难度:
|
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已知
(
3
x
+a
x
2
)
2n
的展开式记为R,(3x-1)
n
的展开式记为T.已知R的奇数项的二项式系数的和比T的偶数项的二项式系数的和大496.
(1)求R中二项式系数最大的项;
(2)求R中的有理项;
(3)确定实数a的值使R,T中有相同的项,并求出相同的项.
题型:不详
难度:
|
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已知
(
x
-
2
x
2
)
n
(n∈
N
*
)
的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是10,
(1)求n的值;
(2)求展开式中含
x
3
2
的项;
(3)求有理项共有多少项.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在
(
x
+
1
2
4
x
)
8
的展开式中有理项的项数共有______项.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若在(x
2
-
1
x
)
n
展开式中,x的一次项是第六项,则n=______.
题型:上海模拟
难度:
|
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