试题分析:(Ⅰ)证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题,即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面.然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题,即该直线与平面中的两条相交直线垂直.在本题中,我们选取的是平面 中的直线 ,因为易知 ,那么只需要在平面 再找一条直线垂直于 即可.因为底面 是平行四边形,且 , , , 为 的中点,所以可以证 ,从而得证;(Ⅱ)求异面直线所成角,一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角.这里,我们选择将直线 平移至点 ,所以需要取 的中点 ,连接 ,易知 即所求,将其放在 求出余弦值.(Ⅲ)二面角 的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决.其中前两问又可以用向量来解决.第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明,即法向量的数量积为0,第二问用向量的夹角公式直接解出(需注意异面直线角的范围).二面角同样可以用两个半平面的法向量的夹角解决,不过这里要注意所求的二面角是锐角还是钝角,从而选择是法向量夹角还是其补角为所求. 试题解析:(Ⅰ)依题意, , 所以 是正三角形,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230128-18112.png) 又 所以 , 2分 因为 平面 , 平面 ,所以 3分 因为 ,所以 平面 4分 因为 平面 ,所以平面 平面 5分 (Ⅱ)取 的中点 ,连接 、 ,连接 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230130-30479.png) 所以 是异面直线 与 所成的角 7分 因为 , , 所以 , , 所以 9分 解法2:以 为原点,过 且垂直于 的直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴建立右手空间直角坐标系.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230133-58908.jpg) 设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230133-66354.png) 则 , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230134-28020.png) (Ⅰ)设平面 的一个法向量为 , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230135-18548.png)
,取 ,则 ,从而 , 同理可得平面 的一个法向量为 , 直接计算知 ,所以平面 平面 . (Ⅱ)由 即 解得
, 所以异面直线 与 所成角的余弦值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 ,平面 的一个法向量为 又 , 设平面 的法向量 则 得 11分 设二面角 的平面角为 ,且 为锐角 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020230139-43945.png) 13分 所以二面角 的余弦值为 14分 |