将4个半径都是的球体完全装入底面半径是的圆柱形桶中,则桶的最小高度是 .
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将4个半径都是的球体完全装入底面半径是的圆柱形桶中,则桶的最小高度是 .
题型:不详
难度:
来源:
将4个半径都是
的球体完全装入底面半径是
的圆柱形桶中,则桶的最小高度是
.
答案
解析
本题考查了,空间位置关系与距离,做题时要弄请存在的等量关系
由题意知,小球要分两层放置且每层两个,令下层两小球的球心分别是A、B,上层两小球的球心分别是C、D.此时,圆柱底面的半径=两小球半径的和,恰好使小球相外切,且与圆柱母线相切.圆柱的高=上层小球的上方半径+AB与CD间的距离+下层小球的下方半径=2R+AB与CD间的距离.令AB、CD的中点分别为E、F.很明显,四面体ABCD每条棱的长都是2R,容易求出:EC=ED、FA=FB,由EC=ED、CF=DF,得:EF⊥CD.由FA=FB、AE=BE,得:EF⊥AB.∴EF是AB与CD间的距离,∴圆柱的高=2R+EF.由勾股定理,有:CE
2
+AE
2
=AC
2
,CE
2
=EF
2
+CF
2
.两式相减,消去CE,得:AE
2
=AC
2
-EF
2
-CF
2
,∴EF
2
=AC
2
-AE
2
-CF
2
=(2R)
2
-R
2
-R
2
=2R
2
,∴EF=
R.∴圆柱的高=2r+
R=(2+
)R.故答案为(2+
)R.
解决该试题的关键弄清桶的取最小高度时,四个球如何放置.由题意知,小球要分两层放置且每层两个,则四个球心构成正四面体,并可求出相对棱的距离.很明显,圆柱的高=上层小球的上方半径R+相对棱间的距离+下层小球的下方半径R.
举一反三
已知a,b为异面直线,则下列命题中正确的是 ( )
A.过a,b外一点P一定可以引一条与a,b都平行的直线
B.过a,b外一点P一定可以作一个与a,b都平行的平面
C.过a一定可以作一个与b平行的平面
D.过a一定可以作一个与b垂直的平面
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
的底面
是矩形,
⊥平面
,
,
.
(1)求证:
⊥平面
;
(2)求二面角
余弦值的大小;
(3)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知,如图所示的正方体的棱长为4,E、F分别为A
1
D
1
、AA
1
的中点,过C
1
、E、F的截面的周长为___________________.
题型:不详
难度:
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如图, 在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是正方形A
1
B
1
C
1
D
1
和ADD
1
A
1
的中心,则EF和BD所成的角是
。
题型:不详
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若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个结论中正确的是
①AB∥CD ②AB⊥AD ③|AC|=|BD| ④AC⊥BD
题型:不详
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