如图,ABCD是边长为的正方形,ABEF是矩形,且二面角CABF是直二面角,,G是EF的中点,(1)求GB与平面AGC所成角的正弦值. (2)求二面角B—AC—

如图,ABCD是边长为的正方形,ABEF是矩形,且二面角CABF是直二面角,,G是EF的中点,(1)求GB与平面AGC所成角的正弦值. (2)求二面角B—AC—

题型:不详难度:来源:
如图,ABCD是边长为的正方形,ABEF是矩形,且二面角CABF是直二面角,,G是EF的中点,
(1)求GB与平面AGC所成角的正弦值.
(2)求二面角B—AC—G的余弦值.

答案
(1)           (2)
解析
建立空间直角坐标系,利用向量解决(1)求GB与平面AGC所成角的正弦值,求GB与平面AGC的法向量的余弦值;(2)求二面角B—AC—G的余弦值,即求两个平面法向量的余弦值
(向量法)
解:如图,以A为原点建立直角坐标系,
A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),
Gaa,0),Fa,0,0).
(由题意可得

设平面AGC的法向量为
    ……
                         ……
(2)因是平面AGC的法向量,
又AF⊥平面ABCD,平面ABCD的法向量,得


举一反三
长方体的共顶点的三个面的面积分别为,则它的外接球的表面积为
A.B.C.D.

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如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1。
(1)问BC边上是否存在点Q,使得PQQD?并说明理由;
(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切。
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正四棱锥V—ABCD中,底面正方形的边长为2,侧棱长为,E为侧棱VA的中点,则EC与底面ABCD所成角的正切值为(   )
A.B.C.D.

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正四面体ABCD的外接球的表面积为4π,则A与B两点的球面距离为(   )
A.B.
C.D.

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如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥A—BCD。
(1)求证:平面AOC⊥平面BCD;
(2)若三棱锥A—BCD的体积为,求AC的长。
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