如图,正四棱锥中,侧棱与底面所成角的正切值为. (1)求侧面与底面所成二面角的大小;(2)若E是PB中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值.

如图,正四棱锥中,侧棱与底面所成角的正切值为. (1)求侧面与底面所成二面角的大小;(2)若E是PB中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值.

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如图,正四棱锥中,侧棱与底面所成角的正切值为
(1)求侧面与底面所成二面角的大小;
(2)若E是PB中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值.

答案
(1)连结AC,BD交于点O,连结PO,则PO⊥面ABCD,       
∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角,∴ tan∠PAO=.        
设AB=1,则PO=AOtan∠PAO =.    
设F为AD中点,连FO、PF,
易知OF⊥AD,PF⊥AD,所以∠PAO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角.
在Rt中,
,即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为
(2)连结EO,由于O为BD中点,E为PD中点,所以  .
就是异面直线PD与AE所成的角.                      
在Rt中,.∴.      
可知.所以,       
在Rt中,
即异面直线PD与AE所成角的正切值为
解析

举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明 PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求.

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在正四棱柱中,若=,则异面直线所成角的余弦值为  (    )
A.B.C.D.

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正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为
则AB两点的球面距为(  )
A.B.C.D.

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在几何体中,平面平面.
(1)设平面与平面的交线为直线,求证:平面
(2)设的中点,求证:平面平面
(3)求几何体的体积.

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如图,在正三棱柱中, 的沿长线上一点,三点的平面交,交 
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)当平面平面时,求的值.
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