解:(Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ∵ABCD为正方形 ∴AC⊥BD ∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内, ∴平面PAC⊥平面BPD .。。。。。。。。。。。。。。。。 6分 (Ⅱ)解法一:在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N,连DN, ∵Rt△PBC≌Rt△PDC,由BN⊥PC得DN⊥PC; ∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角, 在△BND中,BN=DN=,BD= ∴cos∠BND =。。。。。。。。。。。。。。。 12分 解法二:以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图, 在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN,
∵Rt△PBC≌Rt△PDC,由BN⊥PC得DN⊥PC; ∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角 设
10分 12分 解法三:以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系,作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N,易证AM⊥平面PBC,AN⊥平面PDC,
设
∵二面角B—PC—D的平面角与∠MAN互补 ∴二面角B—PC—D的余弦值为 …………………………. 12分 |