方法一、传统几何 (1)MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ANCD,由直角三角形易得:AM=AN=MN=NC=MC=,E是MN中点,可得AE⊥MN,CE⊥MN,又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC; (2)这里也有多种方法: 连接BD交AC与点O,底面是正方形得AC⊥BD,OE//MD推得OE⊥AC,得AC⊥平面MDBN,所以∠MON就是二面角M-AC-N的平面角,在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。
(亦可把二面角M-AC-N,拆成两个二面角M-AC-E和E-AC-N;或者抽取出正四面体MNAC,再求侧面与地面所成角;或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角) 方法二、向量几何 MD⊥平面ABCDMD⊥DA,MD⊥DC,又底面ABCD为正方形DA⊥DC,故以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DM为z轴,如图建立空间直角坐标系。 则各点的坐标A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),M(0,0,1),N(1,1,1), E(,,1) ……3分 (1) ·=…=0MN⊥AE; ·=…=0MN⊥AC 又AC∩AE=E,故MN⊥平面AEC; ………7分 (2)不妨设平面AMC的法向量为=(1,y,z),平面ANC的法向量为=(1,m,n) 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=(1,1,1)---9分 由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=(1,1,-1)--11分 Cos<,>== -------12分 |