如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．（1）求证：BD⊥AC1 ；（2）若AB=，AA1=，求

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如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．
（1）求证：BD⊥AC₁ ；
（2）若AB=，AA₁=，求AC₁与平面ABC所成的角．
 

答案

60°

解析

（1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BD
又∵AB=BC，D为AC中点，∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁ A₁  ∴BD⊥AC₁  ……………………4分
（2）∵AA₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥平面ABC
∴AC₁与平面ABC所成的角为∠C₁AC
∵AB=BC，∠ABC=90°，AB=，∴AC=2
又AA₁=，∴CC₁=
∴tan∠C₁AC=，∴∠C₁AC=60°．……… 8分