(本小题共12分)在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是边长为的正三角形,点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.(1)求证:面A1AO面BCC1B1;(2

(本小题共12分)在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是边长为的正三角形,点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.(1)求证:面A1AO面BCC1B1;(2

题型:不详难度:来源:
(本小题共12分)

在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是边长为的正三角形,点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.
(1)求证:面A1AOBCC1B1;
(2)当AA1与底面成45°角时,求二面角A1AC—B的大小;
(3)若D为侧棱AA1上一点,当为何值时,BDA1C1.
答案
arctan2,
解析
证明:(1)连AO, ∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A1O⊥面ABC,∴A1O⊥BC,∴BC⊥面A1AO
∴面A1AO⊥面BCC1B1         ………4分
(2)过O作OE⊥AC于E,连A1E,
∵A1O⊥面ABC,
,∴∠A1EO即为所求的平面角.
∵正⊿ABC的边长为,∠A1AO=45°,
 .

∴二面角A1—AC—B的大小为arctan2 .             …………8分
(3)过D作DF//A1O交AO于F,则DF⊥面ABC,
连BF,要使BD⊥A1C1,只要使BF⊥AC,
∵⊿ABC为正三角形,
∴只要F为△ABC的中心即可,
时,BD⊥A1C1.            …………12分
举一反三
若将下面的展开图恢复成正方体,则的度数为         .
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(本小题共13分)
如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=
BAD=90°,AB中点,FPC中点.
(I)求证:PEBC
(II)求二面角CPEA的余弦值;
(III)若四棱锥PABCD的体积为4,求AF的长.
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如图所示,四棱锥中,底面是矩形,平面分别是的中点,
(1)求证:平面
(2)求证:平面⊥平面
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已知:如图,长方体ABCD中,AB=BC=4,E的中点,为下底面正方形的中心.求:(I)二面角CAB的正切值;
(II)异面直线AB所成角的正切值;
(III)三棱锥——ABE的体积.
 
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如图,平行六面体ABCD-A"B"C"D"中,AC=2,BC=AA"=A"C=2,∠ABC=90°,点O是点A"在底面ABCD上的射影,且点O恰好落在AC上.

(1)求侧棱AA"与底面ABCD所成角的大小;
(2)求侧面A"ADD"底面ABCD所成二面角的正切值;
(3)求四棱锥C-A"ADD"的体积.
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