如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，，是中点，过、、三点的平面交于． (1)求证：；   (2)求证：是中点；(3)求证：平

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥中，侧面

是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，，是中点，过、、三点的平面交于． 
(1)求证：；   (2)求证：是中点；(3)求证：平面⊥平面.

答案

(1)略    (2)略      (3)略

解析

证明：（1）连结，，设，连结    
∵是的菱形 ∴是中点，又是中点，∴， 又，     ∴                                   
（2）依题意有 ∴平面， 而平面平面     
∴， ∴，（或证∥平面）    ∴        
又是中点   ∴是中点
（3）取AD中点E，连结,,,如右图
∵为边长为2的菱形，且，∴为等边三角形，又为的中点
∴ ，又∵，∴⊥面，∴AD⊥PB， 又∵，为的中点，∴，∴平面而平面                                
∴平面平面