如图,在四面体中,平面平面,,,。(Ⅰ)若,,求四面体的体积;(Ⅱ)若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值。(12分)

如图,在四面体中,平面平面,,,。(Ⅰ)若,,求四面体的体积;(Ⅱ)若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值。(12分)

题型:不详难度:来源:
如图,在四面体中,平面平面
(Ⅰ)若,求四面体的体积;
(Ⅱ)若二面角,求异面直线所成角的余弦值。(12分)
答案
(1);(2).
解析
第一问中,利用求解体积知道高和底面积即可。因为设F为AC的中点,由于AD=CD,所以,故由平面ABC平面ACD,知平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,再利用由勾股定理易知,得到体积。
第二问中,设G、H分别为边CD、BD的中点,则FG//AD,GH//BC,
从而是异面直线AD与BC所成的角或补角设E为边AB的中点,则EF//BC,由,又由(1)有平面ABC,故由三垂线定理知
所以为二面角C—AB—D的平面角,由题设知,设AD=a,则,在中,
从而,因为,故
从而,在中,,又,从而在中,因再利用余弦定理求解得到异面直线所成的角。
解:(I)如图,设F为AC的中点,由于AD=CD,所以
故由平面ABC平面ACD,知平面ABC,
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,
=1,……….2分,
,在中,

由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积………….4分
(II)如图,设G、H分别为边CD、BD的中点,则FG//AD,GH//BC,
从而是异面直线AD与BC所成的角或补角。……….6分,
设E为边AB的中点,则EF//BC,由
又由(1)有平面ABC,故由三垂线定理知
所以为二面角C—AB—D的平面角,
由题设知,……….8分,
设AD=a,则,在中,
从而,因为,故,从而,在中,,又,从而在中,因,由余弦定理得
因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为。…….12分

举一反三
一个各条棱都相等的四面体,其外接球半径,则此四面体的棱长为(    )
A.B.C.D.

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已知OA是球O的半径,过点A作与直线OA成的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为15,则球O的表面积是                 
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(本小题满分12分)如图,已知矩形所在平面与矩形所在平面垂直,=1,是线段的中点.
(1)求证:平面
(2)求多面体的表面积;
(3)求多面体的体积.
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(本小题满分14分)
右图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,
平面,且="2" .
(1)求证:平面
(2)求四棱锥B-CEPD的体积.
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如图,在长方体中,,则四棱锥的体积为  ▲ cm3
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