在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,

在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,

题型:黄冈模拟难度:来源:
在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3中的最小值是______.
答案
取BC中点D,连接OD,AD,则平面OAD平分三棱锥的体积,
即三角形OAD面积为S1
在Rt△BOC中,OD是斜边BC上的中线,∴OD=
1
2
BC,
∵OA⊥OB,OA⊥OC,∴OA⊥平面BOC,
∵OD⊂平面BOC,
∴OA⊥OD,
∴S1=OA×
1
2
OD,
即S12=
1
4
OA2OD2=
1
16
OA2BC2=
1
16
OA2(OB2+OC2)=
1
16
(OA2OB2+OA2OC2).
同理可得S22=
1
16
(OA2OB2+OB2OC2),
S32=
1
16
(OA2OC2+OB2OC2),
因为OA>OB>OC
所以S12>S22>S32
所以S1,S2,S3中的最小值是S3
故答案为:S3
举一反三
已知一个正六棱锥的高为10cm,底面边长为6cm,则这个正六棱锥的体积为______cm3
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已知正三棱锥底面边长为2a,侧棱长


2
a
,则该三棱锥表面积为______.
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一个正三棱柱有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的六个顶点),则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1:______:______.
题型:不详难度:| 查看答案
三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,侧面面积分别是6,4,3,则三棱锥的体积是______.
题型:不详难度:| 查看答案
在一个棱长为4的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积为______.
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