已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的表面积；（Ⅱ）求证：MN∥平面

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已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的表面积；
（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．

答案

（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．
又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，（3分）
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．
又∵SB=

2

a，∴S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×

1

2

a2+2×

1

2

a•

2

a+a2=(2+

2

)a2．（7分）
（Ⅱ）取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=

1

2

CD，且NP∥CD．（9分）
又AM=

1

2

CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形．（12分）
∴MN∥AP，而AP⊂平面SAD，MN不在平面SAD内，∴MN∥平面SAD．（14分）