如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．

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如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．魔方格

答案

证明：连接AN，交平面α于点Q，连接PQ．
∵b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点．∵a∥α，a?平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P为MN的中点．

举一反三

如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点，若

，P为线段CD上的一点（P与D不重合），过M，N，P的平面交平面BCD于Q，求证：BD∥PQ．魔方格

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如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．魔方格

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已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使DB=2

，O、H分别为AE、AB的中点．
（1）求证：直线OH∥面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE．魔方格

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在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）．将四边形ABCD沿FG折成空间图形（如图2）后，
（1）求证：DE⊥FG；
（2）线段BG上是否存在一点M，使得AM∥平面BDF？若存在，试指出点M的位置，并证明之；若不存在，试说明理由．

魔方格

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如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=

AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=

PO．
（I）求证：PB∥平面COD；
（II）求证：PD⊥平面COD．魔方格

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