(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则易确定A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).设D1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).
(2)利用向量垂直的坐标运算证明和即可. (3)利用向量法求二面角,首先求出两个面的法向量,再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小. (1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0). 设D1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).
故E点坐标为(1,1,1). …………………4分 (2)由(I)可知,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体. 又∵FD=1, ∴F(1,0,0),
故EF是AD与D1B的公垂线. …………………8分 (3)设n⊥平面FD1B,n=(x,y,z)
取n0=(2,-1,1), …………………10分 则n0与所成角θ等于二面角D1—FB—C的平面角,
∴二面角D1—BF—C的余弦值为 …………………12分 解法二:(Ⅲ)延长CD交BF延长线于P,作DN⊥BP于N,连ND1, ∵DD1⊥平面ABCD, ∴ND1⊥BP, ∴∠DND1就 是二面角D1—FD—C的平面角. ……10分 在Rt△DFP中,DP=2,FD=1,FP=,
∴二面角D1—BF—C的余弦值为. ……………………12分 |