如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,EF与AC交于点O,PA,NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是线段PA上的一动点.

如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,EF与AC交于点O,PA,NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是线段PA上的一动点.

题型:不详难度:来源:
如图,已知EF分别是正方形ABCDBCCD的中点,EFAC交于点OPANC都垂直于平面ABCD,且PAAB=4,NC=2,M是线段PA上的一动点.
(1)求证:平面PAC⊥平面NEF
(2)若PC∥平面MEF,试求PMMA的值;
(3)当M的是PA中点时,求二面角MEFN的余弦值.

答案
解:法1:(1)连结
平面平面
,……………………… 1分
又∵
平面,…………………. 2分
又∵分别是的中点,
,………………………….3分
平面,又平面
∴平面平面;……………4分
(2)连结
平面,平面平面

,故 ………………………………………8分
(3)∵平面平面,∴
在等腰三角形中,点的中点,∴
为所求二面角的平面角, ……………………………9分
∵点的中点,∴
所以在矩形中,
可求得,………………………10分
中,由余弦定理可求得
∴二面角的余弦值为.……………………………………12分
法2:(1)同法1;
(2)建立如图所示的直角坐标系,则

设点的坐标为,平面的法向量为,则
所以,即,令,则

平面,∴,即,解得
,即点为线段上靠近的四等分点;
 …………………………………………………………………8分
(3),则,设平面的法向量为
,即,………9分
,则
,……………………………10分
中点时,


∴二面角的余弦值为.……12分
解析

举一反三
如图,在直三棱柱中,为侧棱上一点,且求证:平面求二面角的大小。

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已知正方体的棱长是3,点分别是棱的中点,则异面直线MN所成的角是       
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如图,平面,四边形是正方形, ,点分别为线段的中点.
(1)求异面直线所成角的余弦值;
(2)在线段上是否存在一点,使得点到平面的距离恰为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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如图,的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直,是线段的中点,则所成角的大小为         .
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梯形中,,如图①;现将其沿折成如图②的几何体,使得.
(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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