三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AA1=4,(1)求异面直线AB与B1C所成角的余弦值;(2)求证:面AC
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三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AA1=4,(1)求异面直线AB与B1C所成角的余弦值;(2)求证:面AC
题型:不详
难度:
来源:
三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱AA
1
⊥底面ABC,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AA
1
=4,
(1)求异面直线AB与B
1
C所成角的余弦值;
(2)求证:面ACB
1
⊥面ABC
1
.
答案
(1)连接A
1
C,∵A
1
B
1
∥
AB,∴∠A
1
B
1
C即为AB与B
1
C所成角或其补角,
在Rt△CBB
1
中,CB
1
=
B
C
2
+B
B
1
2
=
4
2
+
4
2
=4
2
,在Rt△A
1
AC中,
A
1
C=
A
1
A
2
+A
C
2
=
4
2
+
3
2
=5,
在Rt△ACB中,AB=
A
C
2
+C
B
2
=
3
2
+
4
2
=5,
在△A
1
B
1
C中,由余弦定理得,cos∠A
1
B
1
C=
A
1
B
1
2
+C
B
1
2
-
A
1
C
2
2×
A
1
B
1
×C
B
1
=
5
2
+(4
2
)
2
-
5
2
2×5×4
2
=
2
2
5
,
故异面直线AB与B
1
C所成角的余弦值为
2
2
5
.
(2)证明:分别以
CA
,
CB
,
C
C
1
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),C
1
(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B
1
(0,4,4),
C
B
1
=(0,4,4),
CA
=(3,0,0),
A
C
1
=(-3,0,4),
AB
=(-3,4,0),
设
n
1
=(x,y,z)为平面ACB
1
的一个法向量,则
n
1
•
C
B
1
=0
n
1
•
CA
=0
,即
4y+4z=0
3x=0
,取
n
1
=(0,1,-1),
设
n
2
=(x,y,z)为平面ABC
1
的一个法向量,则
n
2
•
A
C
1
=0
n
2
•
AB
=0
,即
-3x+4z=0
-3x+4y=0
,取
n
2
=(4,3,3),
因为
n
1
•
n
2
=(0,1,-1)•(4,3,3)=0×4+1×3+(-1)×3=0,
所以
n
1
⊥
n
2
,
故面ACB
1
⊥面ABC
1
.
举一反三
如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,设AA
1
=2.M,N分别是C
1
D
1
,CC
1
的中点.
(1)求异面直线A
1
N与MC所成角的余弦值;
(2)设P为线段AD上任意一点,求证:MC⊥PN.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知圆柱的轴截面ABB
1
A
1
是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C
1
是圆柱上底面弧A
1
B
1
的中点,那么异面直线AC
1
与BC所成角的正切值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,CA=CC
1
=2CB,∠ACB=90°,则直线BC
1
与直线AB
1
夹角的余弦值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,PB与平面ABC成60°的角,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=
1
2
AD.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(2)设E是棱PD上一点,且PE=
1
3
PD,求异面直线AE与PB所成的角.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若直线m与平面α所成角为
π
3
,直线n⊂α,则直线m,n所成角的取值范围是( )
A.
(0,
π
2
)
B.
[
π
6
,
π
2
]
C.
[
π
3
,
π
2
]
D.
[
π
6
,
π
3
]
题型:不详
难度:
|
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