在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β等于（　　）A．π6B．π4C．π3D．π2

题型：烟台三模难度：来源：

在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β等于（　　）

A． π 6

B． π 4

C． π 3

D． π 2

答案

取AD的中点G，连结EG、FG，取BD的中点H，连结AH、CH


∵AD是等腰△ABD与等腰△BCD公共的底面，H为BD中点
∴AH⊥BD且CH⊥BD
∵AH、CH是平面ACH内的相交直线
∴BD⊥平面ACH，可得BD⊥AC
∵EG是△ABD的中位线，
∴EG∥BD，同理可得FG∥AC
因此，得到∠EGF就是异面直线AC、BD所成的角，即∠EGF=

π

2

∵EF与AC所成角为α=∠EFG，EF与BD所成角为β=∠FEG
∴Rt△EFG中，∠EFG+∠FEG=

π

2

，可得α+β=

π

2

故选：D