(2011•湖北)如图,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合.(1)当CF=1时,求证:EF⊥A
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(2011•湖北)如图,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合.(1)当CF=1时,求证:EF⊥A
题型:不详
难度:
来源:
(2011•湖北)如图,已知正三棱柱ABC=A
1
B
1
C
1
的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC
1
上,且不与点C重合.
(1)当CF=1时,求证:EF⊥A
1
C;
(2)设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ,求tanθ的最小值.
答案
(1)见解析 (2)
解析
(1)过E作EN⊥AC于N,连接EF,NF,AC
1
,由直棱柱的性质可知,底面ABC⊥侧面A
1
C
∴EN⊥侧面A
1
C
NF为EF在侧面A
1
C内的射影
在直角三角形CNF中,CN=1
则由
,得NF∥AC
1
,又AC
1
⊥A
1
C,故NF⊥A
1
C
由三垂线定理可知EF⊥A
1
C
(2)连接AF,过N作NM⊥AF与M,连接ME
由(1)可知EN⊥侧面A
1
C,根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°<α≤45°,
在直角三角形CNE中,NE=
,在直角三角形AMN中,MN=3sinα
故tanθ=
,又0°<α≤45°∴0<sinα≤
故当α=45°时,tanθ达到最小值,
tanθ=
,此时F与C
1
重合
举一反三
(2011•浙江)下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,
平面ABCD,AD//BC,BC=2AD,
AC,Q是线段PB的中点.
(1)求证:
平面PAC;
(2)求证:AQ//平面PCD.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD
底面ABCD,侧棱
,底面ABCD为直角梯形,其中BC//AD,AB
AD,AD=2,AB=BC=l,E为AD中点.
(1)求证:PE
平面ABCD:
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值:
(3)求平面PAB与平面PCD所成的二面角.
题型:不详
难度:
|
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如图,ABCD是边长为2的正方形,
,ED=1,
//BD,且
.
(1)求证:BF//平面ACE;
(2)求证:平面EAC
平面BDEF;
(3)求二面角B-AF-C的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,
是边长为2的正方形,
平面
,
,
,且
.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:平面
平面
;
(3)求多面体
的体积。
题型:不详
难度:
|
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