试题分析:(Ⅰ)主要利用线线平行可证线面平行;(Ⅱ)通过作平行线转化到三角形内解角;当然也可建系利用空间向量来解; 试题解析:(Ⅰ)证明:连接AB1, ∵四边形A1ABB1是矩形,点M是A1B的中点, ∴点M是AB1的中点;∵点N是B1C的中点, ∴MN//AC,∵MN平面ABC,AC平面ABC, ∴MN//平面ABC 6分 (Ⅱ)解 :(方法一)如图,作,交于点D,
由条件可知D是中点,连接BD,∵AB=1,AC=AA1=,BC=2, ∴AB2+AC2= BC2,∴AB⊥AC, ∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面 ∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD,∴∴为二面角A—A1C—B的平面角,在, , , 在等腰中,为中点,, ∴中,, 中,, ∴二面角A——B的余弦值是 12分 (方法二) 三棱柱为直三棱柱, ∴,,, , ∴,∴ 如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,), 如图,可取为平面的法向量, 设平面的法向量为, 则,, 则由又 ,不妨取m=1,则, 可求得, 12分 |