如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN (Ⅰ)证明:MN//平面ABC;(Ⅱ)若AB=1,AC=AA1=,BC

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN (Ⅰ)证明:MN//平面ABC;(Ⅱ)若AB=1,AC=AA1=,BC

题型:不详难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN

(Ⅰ)证明:MN//平面ABC;
(Ⅱ)若AB=1,AC=AA1=,BC=2,求二面角A—A1C—B的余弦值的大小
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)主要利用线线平行可证线面平行;(Ⅱ)通过作平行线转化到三角形内解角;当然也可建系利用空间向量来解;
试题解析:(Ⅰ)证明:连接AB1
∵四边形A1ABB1是矩形,点M是A1B的中点,
∴点M是AB1的中点;∵点N是B1C的中点,
∴MN//AC,∵MN平面ABC,AC平面ABC,
∴MN//平面ABC        6分
(Ⅱ)解 :(方法一)如图,作,交于点D,

由条件可知D是中点,连接BD,∵AB=1,AC=AA1=,BC=2,
∴AB2+AC2= BC2,∴AB⊥AC,
∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面
∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD,∴为二面角A—A1C—B的平面角,在, 
在等腰中,中点,, ∴中,
中,
∴二面角A——B的余弦值是    12分
(方法二) 三棱柱为直三棱柱,

, ∴,∴
如图,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,),
如图,可取为平面的法向量,
设平面的法向量为
,
则由
,不妨取m=1,则
可求得     12分
举一反三
如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,E为PB的中点.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面平面.   
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如图,四棱锥中,四边形为矩形,为等腰三角形,,平面 平面,且分别为的中点.

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)证明:平面平面
(Ⅲ)求四棱锥的体积.
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对两条不相交的空间直线a与b, 必存在平面a, 使得(      )
A. aÌa, bÌaB.aÌa, b//aC. a^a, b^aD.aÌa, b^a

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已知为异面直线,点A、B在直线上,点C、D在直线上,且AC=AD,BC=BD,则直线所成的角为 (    )
A. 900        B. 600      C. 450        D. 300
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已知一个平面与正方体的12条棱的夹角均为,那么        .
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