试题分析:(Ⅰ)主要利用线线平行可证线面平行;(Ⅱ)通过作平行线转化到三角形内解角;当然也可建系利用空间向量来解; 试题解析:(Ⅰ)证明:连接AB1, ∵四边形A1ABB1是矩形,点M是A1B的中点, ∴点M是AB1的中点;∵点N是B1C的中点, ∴MN//AC,∵MN 平面ABC,AC 平面ABC, ∴MN//平面ABC 6分 (Ⅱ)解 :(方法一)如图,作 ,交 于点D,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041958-50265.png) 由条件可知D是 中点,连接BD,∵AB=1,AC=AA1= ,BC=2, ∴AB2+AC2= BC2,∴AB⊥AC, ∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041958-14565.png) ∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD,∴ ∴ 为二面角A—A1C—B的平面角,在 , , , 在等腰 中, 为 中点, , ∴ 中, ,
中, , ∴二面角A— —B的余弦值是 12分 (方法二) 三棱柱 为直三棱柱, ∴ , , ,
, ∴ ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022042002-91062.png) 如图,建立空间直角坐标系,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022042003-27229.png) 则A(0,0,0), B(0,1,0), C( ,0,0), A1(0,0, ), 如图,可取 为平面 的法向量, 设平面 的法向量为 , 则 , , 则由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022042004-36561.png) 又
,不妨取m=1,则 , 可求得 , 12分 |