如图,在三棱锥中,,,,设顶点A在底面上的射影为R.(Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值.

如图,在三棱锥中,,,,设顶点A在底面上的射影为R.(Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥中,,设顶点A在底面上的射影为R.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
解析

试题分析:(Ⅰ)借助几何体的中线面垂直,证明BCDE为正方形,达到证明线线垂直的目的;(Ⅱ)方法一利用定义法做出二面角,通过解三角形求解二面角的平面角;方法二建立利用空间向量法,通过两个半平面的法向量借助夹角公式求解.
试题解析:证明:方法一:由平面,得
,则平面
,                3分
同理可得,则为矩形,
,则为正方形,故.        5分

方法二:由已知可得,设的中点,则,则平面,故平面平面,则顶点在底面上的射影必在,故
(Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知平面,过,垂足为,则易证得,故即为二面角的平面角,           8分
由已知可得,则,故,则
,则,              10分
,即二面角的余弦值为 12分
方法二: 由(I)的证明过程知为正方形,如图建立坐标系,

,可得,       8分
,易知平面
的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则由         10分
,即二面角的余弦值为.    12分
举一反三
如图:点在正方体的面对角线上运动,则下列四个命题:
①三棱锥的体积不变;
∥面

④面⊥面.
其中正确的命题的序号是________.

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设l、m是两条不同的直线,a,β是两个不同的平面,有下列命题:
①l//m,ma,则l//a ;② l//a,m//a 则 l//m; ③a丄β,la,则l丄β; ④l丄a,m丄a,则l//m.
其中正确的命题的个数是(      )
A.1B.2C.3D.4

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设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则“”是“”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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已知直角梯形中,是边长为2的等边三角形,.沿折起,使处,且;然后再将沿折起,使处,且面在面的同侧.

(Ⅰ) 求证:平面
(Ⅱ) 求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值.
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在三棱锥中,,底面是正三角形,分别是侧棱的中点.若平面平面,则平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值等于(      )
A.B.C.D.

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