如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I) 证明: PA∥平面EDB;(II) 证明:PB⊥平面EFD;
题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.
(I) 证明: PA∥平面EDB; (II) 证明:PB⊥平面EFD; |
答案
(1)结合线面的判定定理,根据题意得到PA∥EO是解题的关键一步 (2)根据已知的线面垂直可知PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC ,同时可知同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.进而推理得到BC⊥平面PDC.结合判定定理得到证明。 |
解析
试题分析:解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O,连接EO. ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB, 所以,PA∥平面EDB (2)证明: ∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②推得DE⊥平面PBC 而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB 又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD. 点评:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力 |
举一反三
已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. |
已知四棱锥的底面为菱形,且, ,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求点到面的距离. |
(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,平面平面,∥是正三角形,已知
(1) 设是上的一点,求证:平面平面; (2) 求四棱锥的体积. |
如图,在三棱锥中, 、、两两垂直, 且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥M-PAB、 三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为___ ___. |
(本小题满分12分)已知四棱锥中平面, 且,底面为直角梯形, 分别是的中点.
(1)求证:// 平面; (2)求截面与底面所成二面角的大小; (3)求点到平面的距离. |
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