(本题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.(I)当时,求证平面(II)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.

(本题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.(I)当时,求证平面(II)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面在棱上.

(I)当时,求证平面
(II)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
答案
(I)见解析(II)
解析

试题分析:(Ⅰ)在平行四边形中,

易知,                                                       ……2分
平面,所以平面,∴
在直角三角形中,易得
在直角三角形中,,又,∴
可得
.
,                                                       ……5分
又∵,∴平面.                              ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
可知为二面角的平面角,
,此时的中点.                                     ……8分
,连结,则平面平面,
,则平面,连结,
可得为直线与平面所成的角.
因为,,
所以.                                        ……10分
中,
直线与平面所成角的正弦值为.                         ……12分
解法二:依题意易知平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系,则易得

(Ⅰ)由,                                ……3分
易得,从而平面.                            ……6分
(Ⅱ)由平面,二面角的平面角.
,则 的中点,
,                                                 ……8分
设平面的法向量为
,令,得,                 ……10分
从而
直线与平面所成角的正弦值为.                        ……12分
点评:解决空间立体几何问题可以用传统的方法证明也可以用向量方法来证明,用传统方法证明时,要把证明所用的定理的条件摆清楚,缺一不可,用向量方法时,运算量比较大.
举一反三
已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且中点.
(Ⅰ)证明://平面
(Ⅱ)证明:平面平面
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
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若直线不平行于平面,则下列结论成立的是(   )
A.平面内的所有直线都与直线异面B.平面内不存在与直线平行的直线
C.平面内的直线都与直线相交D.平面内必存在直线与直线垂直

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已知直线与平面,给出下列三个命题:
①若      ②若
③若     ④ 
其中真命题的是(   )
A.②③B.②③④C.②③④D.①④

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如图所示,已知正四棱锥侧棱长为,底面边长为的中点,则异面直线所成角的大小为(   )
A.B.C.D.

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如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于则函数的图象大致是(   )
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