如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1D中点，N为AC中点.（1）求异面直线MN和AB所成的角；（2）求证：MN⊥AB1；

题型：不详难度：来源：

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为A₁D中点，N为AC中点.
（1）求异面直线MN和AB所成的角；
（2）求证：MN⊥AB₁；

答案

解：（1）在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为A₁D中点，连接AD₁，则M为A₁D和AD₁的交点
在△AD₁C中，M、N分别为AD₁和AC之中点
∴MN//D­₁C，而D₁C和DC所成角为45°，又DC//AB
∴MN和AB所在异面角为45°。（6分）
(2)∵M为A₁D中点，则M也为AD₁中点
在△AD₁C中，M，N分别为AD₁，AC中点
∴MN//D₁C，又D₁C⊥DC₁且DC₁//AB₁
∴MN⊥AB₁………………………………………（12分）

解析

略