已知长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=2,AA′=1,直线BD与平面AA′B′B所成角为30°,E为A′B′的中点.(1)求异面直线AC与BE所成的角;(
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已知长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=2,AA′=1,直线BD与平面AA′B′B所成角为30°,E为A′B′的中点.(1)求异面直线AC与BE所成的角;(
题型:不详
难度:
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已知长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=2,AA′=1,直线BD与平面AA′B′B所成角为30°,E为A′B′的中点.
(1)求异面直线AC与BE所成的角;
(2)求A点到平面BDE的距离.
答案
(1)如图,取C′D′在中点O,连接EO,OC,AC,
∵E为A′B′的中点,
∴四边形EOCB是平行四边形
∴EB
∥
OC
∴∠OCA(或其补角)为异面直线AC与BE所成的角
∵DA⊥平面AA′B′B,直线BD与平面AA′B′B所成角为30°,
∴∠DBA=30°
∵AB=2,∴AD=
2
3
3
,DB=
4
3
3
△AOC中,OC=
2
,AC=
4
3
3
,AO=
3
∴cos∠OCA=
(
4
3
3
)
2
+2-3
2•
4
3
3
•
2
=
13
6
48
∴∠COA=arccos
13
6
48
;
(2)设A点到平面BDE的距离为h,则
在△BDE中,BE=
2
,DB=
4
3
3
,DE=
10
3
∴DB
2
=BE
2
+DE
2
∴S
△BDE
=
1
2
×
2
×
10
3
=
60
6
∵
S
△AEB
=
1
2
×2×1=1
,V
A-BDE
=V
D-ABE
∴
1
3
×
60
6
×h=
1
3
×1×
2
3
3
∴h=
2
5
5
.
举一反三
如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则此时B、D的距离是( )
A.2或
3
B.2或
2
C.2
D.1或
2
题型:不详
难度:
|
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一只小球放入一长方体容器内,且恰与共点的三个面接触,若该球面上一点到这三个面的距离分别为4,5,5,则这只小球的半径是( )
A.2或11
B.8或11
C.5或8
D.3或8
题型:不详
难度:
|
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如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60,
(1)求点A到平面PBD的距离的值;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知圆锥的底面直径和母线长均为4,过OA上一点P作平面α,当OB
∥
α时平面a截圆锥所得的截口曲线为抛物线,设抛物线的焦点为F,若OP=1,则|PF|长为( )
A.
1
4
B.
1
2
C.1
D.2
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,∠BAC=120°,且AB=AC=AD=2,点E在BC上,且AE⊥AC.
(Ⅰ)求证:AC⊥DE;
(Ⅱ)求点B到平面ACD的距离.
题型:不详
难度:
|
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