将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则AD与平面ABC所成之角为______.

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则AD与平面ABC所成之角为______.

题型:不详难度:来源:
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则AD与平面ABC所成之角为______.
答案
如图,由题意知DE=BE=


2
2
a,BD=a
由勾股定理可得∠BED=90°,故△BDE面积是
1
4
a2
又正方形的对角线互相垂直,且翻折后,AC与DE,BE仍然垂直,
故AE,CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高
故三棱锥D-ABC的体积为
1
3
×


2
1
4
a2=


2
12
a3

设点D到平面ABC的距离为h,则
∵三棱锥D-ABC的体积为
1
3
S△ABC
h=
1
6
a2
h,


2
12
a3
1
6
a2
h,
∴h=


2
2
a,
设AD与平面ABC所成角为α,则sinα=


2
2
a
a
=


2
2

∴α=45°.
故答案为:45°.
举一反三
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1
(Ⅱ)求证:AC1平面CDB1
(Ⅲ)若BB1=4,求CB1与平面AA1B1B所成角的正切值.
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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为(  )
A.


2
2
B.


15
5
C.


6
4
D.


6
3
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1与平面BB1D1D所成角的大小是______.
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线AB与平面BDA1所成角的正弦值等于______.
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中E为AB的中点.
(1)求直线A1C1与平面A1B1CD所成角大小;
(2)试确定直线BC1与平面EB1D的位置关系,并证明你的结论;
(3)证明:平面EB1D⊥平面B1CD.
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