如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=3，EF=2．（1）求异面直线AD与EF所成的角；（2）当

题型：不详难度：来源：

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=

3

，EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为45°？

答案

如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系
设AB=a，BE=b，CF=c，（b＜c）
则C(0，0，0)，A(

3

，0，a)，B(

3

，0，0)，E(

3

，b，0)，
F（0，c，0），D（0，0，a）（2分）
（I）

DA

=(

3

，0，0)，

CB

=(

3

，0，0)，

FE

=(

3

，b-c，0)，
由|

FE

|=2，得3+（b-c）²=4，∴b-c=-1．
所以

FE

=(

3

，-1，0)．
所以cos＜

DA

，

FE

＞=

DA • FE

| DA |•| FE |

=

3

3 ×2

=

3

2

，
所以异面直线AD与EF成30°
（II）设

n

=(1，y，z)为平面AEF的法向量，则

n

•

AE

=0，

n

•

EF

=0，
结合|

BC

|2+|

BE

|2=|

CF

|2-|

EF

|2，
解得

n

=(1，

3

，

3 3

a

)．（8分）
又因为BA⊥平面BEFC，

BA

=(0，0，a)，
所以cos＜

n

，

BA

＞

n • BA

| n |•| BA |

=

3 3 a

a 4a2+27

=

2

2

，
得到a=

3 3

2

．
所以当AB为

3 3

2

时，二面角A-EF-C的大小为45°．