如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF-90°,BE∥CF,CE⊥EF,AD=3,EF=2.(1)求异面直线AD与EF所成的角;(2)当

如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF-90°,BE∥CF,CE⊥EF,AD=3,EF=2.(1)求异面直线AD与EF所成的角;(2)当

题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF-90°,BECF,CE⊥EF,AD=


3
,EF=2.
(1)求异面直线AD与EF所成的角;
(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为45°?
答案
如图,以点C为坐标原点,以CB,CF和CD分别为作x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系
设AB=a,BE=b,CF=c,(b<c)
C(0,0,0),A(


3
,0,a),B(


3
,0,0),E(


3
,b,0)

F(0,c,0),D(0,0,a)(2分)
(I)


DA
=(


3
,0,0),


CB
=(


3
,0,0),


FE
=(


3
,b-c,0)

|


FE
|=2
,得3+(b-c)2=4,∴b-c=-1.
所以


FE
=(


3
,-1,0)

所以cos<


DA


FE
>=


DA


FE
|


DA
|•|


FE
|
=
3


3
×2
=


3
2

所以异面直线AD与EF成30°
(II)设


n
=(1,y,z)
为平面AEF的法向量,则


n


AE
=0,


n


EF
=0

结合|


BC
|2+|


BE
|2=|


CF
|2-|


EF
|2

解得


n
=(1,


3
3


3
a
)
.(8分)
又因为BA⊥平面BEFC,


BA
=(0,0,a)

所以cos<


n


BA


n


BA
|


n
|•|


BA
|
=
3


3
a
a


4a2+27
=


2
2

得到a=
3


3
2

所以当AB为
3


3
2
时,二面角A-EF-C的大小为45°.
举一反三
如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC上的点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′.
(1)△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中点,求证:EQ⊥平面A′FD
(2)当E、F分别是AB、BC的中点时,求二面角A′-EF-D的正弦值.
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已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′,四边形ABCD为正方形,AA′=2AB=2,E为棱CC′的中点.
(Ⅰ)求证:A′E⊥平面BDE;
(Ⅱ)设F为AD中点,G为棱BB′上一点,且BG=
1
4
BB′
,求证:FG平面BDE;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,E为棱CC1的中点,已知AB=


2
,BB1=2,BC=1.
(1)证明:BE是异面直线AB与EB1的公垂线;
(2)求二面角A-EB1-A1的大小;
(3)求点A1到面AEB1的距离.
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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上.
(1)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;
(2)当AB1⊥MN时,求二面角M-AB1-N的大小.
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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=


2

(1)求证:PA1⊥BC;
(2)求二面角C1-PA1-A.
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