如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a，P为线段A1B上的动点．（Ⅰ）试确定A1P:PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）若A1P:PB=2:3，求二面角

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如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为线段A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P:PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P:PB=2:3，求二面角P-AC-B的大小；

答案

解：【法一】（Ⅰ）当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D. 连结CD.
则AB⊥平面PCD，
∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，
又PD∥AA₁，∴P也是A₁B的中点，即.  
反之当A₁P:PB=1时，取AB的中D′，连接CD′、PD′.
∵△ABC为正三角形，∴CD′⊥AB.  
由于P为A₁B的中点时，PD′∥A₁A
∵AA₁⊥平面ABC，∴PD′⊥平面ABC，
∴PC⊥AB
（Ⅱ）当A1P:PB=2：3时，作P在AB上的射影D.
则PD⊥底面ABC.作D在AC上的射影E，连结PE，
则PE⊥AC.∴为二面角P-AC-B的平面角.
又∵PD∥AA₁，∴，
∴.∴，
又∵，∴.∴，
∴P-AC-B的大小为
【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设，则、、.
（Ⅰ）由得，即，
∴，即P为A₁B的中点，也即时，PC⊥AB
（Ⅱ）当时，P点的坐标是.  取.
则，.
∴是平面PAC的一个法向量.
又平面ABC的一个法向量为.
∴，
∴二面角P-AC-B的大小是60°