如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1． （1）试求的值；（2）求二面角F﹣AC1﹣C的大小；（3）求

题型：广东省月考题难度：来源：

如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁．
（1）试求的值；
（2）求二面角F﹣AC₁﹣C的大小；
（3）求点C₁到平面AFC的距离．

答案

解：取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得

（1）设，则，得，

∵FD⊥AC₁．
∴
即
解得λ=1，即．
（2）设平面FAC₁的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，1）
∵=（1，1，），
由得，
又由，得，
∴
∴=（，，1）
仿上可得平面ACC₁的一个法向量为．
∵=﹣×+0+1×1=0
∴⊥．故二面角F﹣AC₁﹣C的大小为90°．
（3）设平面AFC的一个法向量为，
由得x+y﹣=0
又=（﹣1，0，﹣），
由得．
解得，
∴=（﹣，2，1）
所以C₁到平面AFC的距离为=．