已知点P(4,2)是直线L被椭圆x236+y29=1所截得的弦的中点,则直线L的方程为______.

已知点P(4,2)是直线L被椭圆x236+y29=1所截得的弦的中点,则直线L的方程为______.

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已知点P(4,2)是直线L被椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
所截得的弦的中点,则直线L的方程为______.
答案
设直线l与椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
交于A(x1,y1),B(x2,y2),
∵点P(4,2)是直线l被椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
所截得的弦的中点,





x1+x2=8
y1+y2=4

把A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆x2+4y2=36,





x12+4y12=36
x22+4y22=36

∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴8(x1-x2)+16(y1-y2)=0,
∴k=
y1-y2
x1-x2
=-
1
2

∴直线l的方程为:y-2=-
1
2
(x-4),整理得x+2y-8=0.
故答案为:x+2y-8=0.
举一反三
已知:在△ABC中,A(3,3),B(2,-2),C(-7,1).
求:(1)AB边上的高CH所在直线的方程.
(2)AB边上的中线CM所在直线的方程.
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以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是______.
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已知椭圆C的中心在坐标原点,椭圆C任意一点P到两个焦点F1(-


3
,0)
F2(


3
,0)
的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过(0,-2)的直线l与椭圆C交于A、B两点,且


OA


OB
=0
(O为坐标原点),求直线l的方程.
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已知直线l过点P(-2,1).
(1)当直线l与点B(-5,4)、C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程;
(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为
1
2
时,求直线l的方程.
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已知动点P与平面上两定点A(-


2
,0),B(


2
,0)
连线的斜率的积为定值-
1
2

(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,
①当|MN|=
4


2
3
时,求直线l的方程.
②线段MN上有一点Q,满足


MQ
=
1
2


MN
,求点Q的轨迹方程.
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