已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x"，y"均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=.z0•.z，|w|=2|z|．（Ⅰ）试

题型：上海难度：来源：

已知复数z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x"，y"均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=

.

z0

•

.

z

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x"和y"用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x"、y"）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(

3

，2)，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

答案

（I）由题设得，|w|=|

.

z0

•

.

z

|=|z0||z|=2|z|，∴|z₀|=2，
由1+m2=4，且m＞0，得m=

3

，∴z₀=1-

3

i，
∵w=

.

z0

•

.

z

，
∴x′+y′i=

.

(1- 3 i)

•

.

(x+yi)

)=(1+

3

i)(x-yi)=x+

3

y+(

3

x-y)i，
由复数相等得，

x′=x+ 3 y y′= 3 x-y

，
（Ⅱ）由（I）和题意得，

x+ 3 y= 3 3 x-y=2

，解得

x= 3 4 3 y= 1 4

，
即P点的坐标为(

3

4

3

，

1

4

)．                 
（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），
其经变换后的点Q(x+

3

y，

3

x-y)仍在该直线上，
∴

3

x-y=k(x+

3

y)，
即(

3

k+1)y=(

3

-k)x
∵当k=0时，y=0，y=

3

x不是同一条直线，
∴k≠0，
于是

3 k+1

1

=

3 -k

k

，
即

3

k2+2k-

3

=0，
解得k=

3

3

或k=-

3