直线2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小
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直线2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小
题型:湖北模拟
难度:
来源:
直线
2
ax+by=1
与圆x
2
+y
2
=1相交于A、B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为( )
A.0
B.
2
C.
2
-1
D.
2
+1
答案
根据题意画出图形,如图所示:
过O作OC⊥AB,因为△AOB为等腰直角三角形,所以O为弦AB的中点,
又|OA|=|OB|=1,根据勾股定理得:|AB|=
2
,
∴|OC|=
1
2
|AB|=
2
2
,
∴圆心到直线的距离为
1
2
a
2
+
b
2
=
2
2
,即2a
2
+b
2
=2,即a
2
=-
1
2
b
2
+1,
∴-
2
≤b≤
2
,
则点P(a,b)与点(0,1)之间距离d=
(a-0)
2
+
(b-1)
2
=
a
2
+
b
2
-2b+1
=
1
2
b
2
-2b+2
,
设f(b)=
1
2
b
2
-2b+2,此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线,
∴当-
2
≤b≤
2
<2时,函数为减函数,
∵f(
2
)=3-2
2
,
∴d的最小值为
3-2
2
=
(
2
-1)
2
=
2
-1.
故选C
举一反三
P(x,y)是曲线
x=-1+cosα
y=sinα
,上任意一点,则(x-2)
2
+(y+4)
2
的最大值是( )
A.36
B.6
C.26
D.25
题型:不详
难度:
|
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已知直角坐标平面内两点
A(x,
2
-x),B(
2
2
,0)
,那么这两点之间距离的最小值等于______.
题型:不详
难度:
|
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有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=13km,BC=10km.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系如图)
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?
题型:北京
难度:
|
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有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图).
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和最小,则P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,则P应位于何处?
题型:北京
难度:
|
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设椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足
OM
=
1
2
(
OP
+
OF
),则
|
OM
|
=______.
题型:辽宁
难度:
|
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