设P是曲线C1上的任一点,Q是曲线C2上的任一点,称|PQ|的最小值为曲线C1与曲线C2的距离.(1)求曲线C1:y=ex与直线C2:y=x-1的距离;(2)设
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设P是曲线C1上的任一点,Q是曲线C2上的任一点,称|PQ|的最小值为曲线C1与曲线C2的距离. (1)求曲线C1:y=ex与直线C2:y=x-1的距离; (2)设曲线C1:y=ex与直线C3:y=x-m(m∈R,m≥0)的距离为d1,直线C2:y=x-1与直线C3:y=x-m的距离为d2,求d1+d2的最小值. |
答案
(1)要求曲线C1与直线C2的距离,只需求曲线C1上的点到直线y=x-1距离的最小值. 设曲线C1上任意一点为P(x,ex),则点P(x,ex)到y=x-1的距离d==. 令f(x)=ex-x+1,则f"(x)=ex-1, 由f"(x)=ex-1=0,得x=0. 所以当x∈(0,+∞)时,f"(x)=ex-1>0 当x∈(-∞,0)时,f"(x)=ex-1<0. 故当x=0时,函数f(x)=ex-x+1取极小值,也就是最小值为f(0)=2, 所以d=取最小值,故曲线C1与曲线C2的距离为; (2)由(1)可知,曲线C1:y=ex与直线C3:y=x-m的距离d1=, 由两条平行线间的距离公式得直线C2:y=x-1与直线C3:y=x-m的距离d2=, 则d1+d2=+=(|m+1|+|m-1|) ≥|m+1-m+1|=, 所以d1+d2的最小值为. |
举一反三
圆x2+y2=1的圆心到直线y=x+b的距离为,则b的值一定是( ) |
已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值. |
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为,(参数θ∈[0,2π]),则圆C的圆心坐标为 ______,圆心到直线l的距离为 ______. |
极坐标系中,圆ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点到直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的距离的最大值是______. |
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