如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2,过点H(0,t)的直线l于圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好
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如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2,过点H(0,t)的直线l于圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2,过点H(0,t)的直线l于圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)当t=1时,求出直线l的方程;
(3)求直线OM的斜率k的取值范围.
答案
(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1),所以圆心C在直线y=1上,
设圆C与x轴的交点分别为A、B,
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2:1,得
∠ACB=
2π
3
,
所以CA=CB=2,圆心C的坐标为(-2,1),
所以圆C的方程为:(x+2)
2
+(y-1)
2
=4.
(2)当t=1时,由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=mx+1,
由
y=mx+1
(x+2
)
2
+(y-1
)
2
=4
得
x=0
y=1
或
x=
-4
m
2
+1
y=
m
2
-4m+1
m
2
+1
,
不妨令
M(
-4
m
2
+1
,
m
2
-4m+1
m
2
+1
),N(0,1)
,
因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0),
所以
OM
•
ON
=(
-4
m
2
+1
,
m
2
-4m+1
m
2
+1
)•(0,1)=m
m
2
-4m+1
m
2
+1
=0
,
解得
m=2±
3
,所以所求直线l方程为
y=(2+
3
)x+1
或
y=(2-
3
)x+1
.
(3)设直线MO的方程为y=kx,
由题意知,
|-2k-1|
1+
k
2
≤2
,解之得
k≤
3
4
,
同理得,
-
1
k
≤
3
4
,解之得
k≤-
4
3
或k>0.由(2)知,k=0也满足题意.
所以k的取值范围是
(-∞,-
4
3
]∪[0,
3
4
]
.
举一反三
已知椭圆2x
2
+y
2
=2的两焦点为F
1
,F
2
,且B为短轴的一个端点,则△F
1
BF
2
的外接圆方程为( )
A.(x-1)
2
+y
2
=4
B.x
2
+y
2
=1
C.x
2
+y
2
=4
D.x
2
+(y-1)
2
=4
题型:不详
难度:
|
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方程
y-1=
1-
(x-1)
2
表示的曲线是( )
A.抛物线
B.一个圆
C.两个圆
D.一个半圆
题型:不详
难度:
|
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设方程x
2
+y
2
-2(m+3)x+2(1-4m
2
)y+16m
4
+9=0表示一个圆.
(1)求m的取值范围;
(2)m取何值时,圆的半径最大?并求出最大半径;
(3)求圆心的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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经过圆x
2
-4x+y
2
+2y=0的圆心,且与直线x-2y-3=0平行的直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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求圆心在直线x-y-4=0上,并且经过
圆
C
1
:
x
2
+
y
2
+2x+8y-8=0
和圆
C
2
:
x
2
+
y
2
-4x-4y-2=0
的交点的圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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