直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+10=0相交于两个不同点A、B,当k取不同实数值时,求AB中点的轨迹方程.
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直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+10=0相交于两个不同点A、B,当k取不同实数值时,求AB中点的轨迹方程. |
答案
法一:由 消去y,得(1+k2)x2-(6+4k)x+10=0. 设此方程的两根为x1、x2,AB的中点坐标为P(x,y), 则由韦达定理和中点坐标公式,得x===.① 又点P在直线y=kx上, ∴y=kx. ∴k=.② 将②代入①,得x=(x≠0),整理得x2+y2-3x-2y=0. 故轨迹是圆x2+y2-3x-2y=0位于已知圆内的部分. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x12+y12-6x1-4y1+10=0,① x22+y22-6x2-4y2+10=0,② ①-②,得(x12-x22)+(y12-y22)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0. 设AB的中点为(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y. 代入上式,有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0, 即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0. ∴=-=-k.③ 又∵y=kx,④ 由③④得x2+y2-3x-2y=0. 故所求轨迹为已知圆内的一段弧. |
举一反三
若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )A.k=,b=-4 | B.k=-,b=4 | C.k=,b=4 | D.k=-,b=-4 |
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圆(x-a)2+y2=1与双曲线x2-y2=1的渐近线相切,则a的值是______. |
由点Q(3,a)引圆C:(x+1)2+(y-1)2=1二切线,切点为A、B,求四边形QACB(C为圆心)面积最小值. |
已知直线l:x-2y+m=0与圆(x-2)2+(y+1)2=5相切,那么实数m的值为( ) |
已知直线l:x+y=m经过原点,则直线l被圆x2+y2-2y=0截得的弦长是( ) |
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