设圆C1的方程为(x+2)2+(y-3m-2)2=4m2,直线l的方程为y=x+m+2.(1)若m=1,求圆C1上的点到直线l距离的最小值;(2)求C1关于l对
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设圆C1的方程为(x+2)2+(y-3m-2)2=4m2,直线l的方程为y=x+m+2. (1)若m=1,求圆C1上的点到直线l距离的最小值; (2)求C1关于l对称的圆C2的方程; (3)当m变化且m≠0时,求证:C2的圆心在一条定直线上,并求C2所表示的一系列圆的公切线方程. |
答案
(1)∵m=1,∴圆C1的方程为(x+2)2+(y-5)2=4,直线l的方程为x-y+3=0, 所以圆心(-2,5)到直线l距离为:d==2>2, 所以圆C1上的点到直线l距离的最小值为2-2;(4分) (2)圆C1的圆心为C1(-2,3m+2),设C1关于直线l对称点为C2(a,b), 则解得:, ∴圆C2的方程为(x-2m)2+(y-m)2=4m2; (3)由消去m得a-2b=0, 即圆C2的圆心在定直线x-2y=0上.(9分) ①当公切线的斜率不存在时,易求公切线的方程为x=0; ②当公切线的斜率存在时,设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切, 则=2|m|,即(-4k-3)m2+2(2k-1)•b•m+b2=0, ∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的m值都成立, 所以有:解之得:, 所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为:y=-x, 故所求圆的公切线为x=0或y=-x.(14分) |
举一反三
如果直线y=x+a与圆x2+y2=1有公共点,则实数a的取值范围是______. |
圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D=______,E=______. |
直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是( ) |
已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M. (1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程; (2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程. |
直线L:y=k(x+3)与圆O:x2+y2=4交于A、B两点,则当△AOB的面积最大时,k=______. |
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