已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=，·=（点O为坐标原点）。（1）求椭圆C的方

题型：河南省模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=，·=（点O为坐标原点）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值。

答案

解：（1）设
由得
由得
即
所以
又因为
所以
椭圆C的方程为；
（2）由得
设直线的方程为，联立方程组
消去y得
设
则
∴
∵
∴，
得
于是
∴

又到直线的距离为
∴
当，即时等号成立，的最大值为。