已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且△PF1F2的最大面积为1．（1）求椭圆C的方程．（2）点M的坐标

题型：山东省期中题难度：来源：

已知点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为，且△PF₁F₂的最大面积为1．
（1）求椭圆C的方程．
（2）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理．

答案

解：（1）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，
∵a²=b²+c²
∴a²=2，b²=1，c²=1
∴所求椭圆的方程为：
（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（，0）
联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²﹣4k²x+2（k²﹣1）=0
则

∴对于任意的=为定值．