已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k
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=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，
），点F2在线段PF1的中垂线上，（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。
答案
解：（1）由椭圆C的离心率e=
，
椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），
又点F2在线段PF1的中垂线上，
∴|F1F2|=|PF2|，
∴（2c）2=（
）2+（2-c）2，解得c=1，
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆的方程为
+y2=1；
2）由题意，直线MN的方程为y=kx+m，
由
消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
，
且
，
，
由已知α+β=π得
，
即
，
化简，得2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，
∴2k·
，解得m=-2k，
∴直线MN的方程为y=k（x-2），
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。
举一反三
的左焦点F1（
，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F。（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：
，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：
于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。
=0的距离为3，（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。
的右顶点和上顶点，
，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值。
（a＞b＞0），直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。
，0），求实数k的取值范围。
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B，