(1)若A,B为椭圆上相异的两点,为A,B中点,当直线AB的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;(1分) 证1:设,则 (2)-(1)得:,(2分) 仅考虑斜率存在的情况 (4分) 证2:设AB:与椭圆联立得: , (2分) 所以(4分) (2)(ⅰ)当点A无限趋近于点B时,割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率, 即, 所以点B处的切线QB:(6分) 令,,令,所以(8分) 又点B在椭圆的第一象限上,所以
,当且仅当 所以当时,三角形OCD的面积的最小值为---10分(没写等号成立扣1分) (ⅱ)设,由(ⅰ)知点处的切线为: 又过点,所以,又可理解为点在直线上同理点在直线上,所以直线MN的方程为: (12分) 所以原点O到直线MN的距离,所以直线MN始终与圆相切. (14分) |