椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点
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椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点
题型:不详
难度:
来源:
椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.
答案
(1)
+y
2
=1 (2)见解析
解析
(1)解:因为e=
=
,
所以a=
c,b=
c.
代入a+b=3,
得c=
,a=2,b=1.
故椭圆C的方程为
+y
2
=1.
(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,
则直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠±
), ①
把①代入
+y
2
=1,
解得P
.
直线AD的方程为y=
x+1.②
①与②联立解得M
.
由D(0,1),P
,N(x,0)三点共线知
=
,
解得N
.
所以MN的斜率为m=
=
=
,
则2m-k=
-k=
(定值).
举一反三
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(
,
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x
0
,y
0
)(x
0
y
0
≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2
),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
+
=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若
·
+
·
=8,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为
时,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
+
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F
1
,F
2
,点P(a,b)满足|PF
2
|=|F
1
F
2
|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF
2
与椭圆相交于A,B两点.若直线PF
2
与圆(x+1)
2
+(y-
)
2
=16相交于M,N两点,且|MN|=
|AB|,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
+
=1的两个焦点是F
1
、F
2
,点P在该椭圆上,若|PF
1
|-|PF
2
|=2,则△PF
1
F
2
的面积是
.
题型:不详
难度:
|
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