设椭圆的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 __ .
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设椭圆的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 __ .
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为
__
.
答案
解析
试题分析:由题意,不妨设点A(a,0),B(0,b),则直线AB的方程为:
,即bx+ay-ab=0。
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,∴原点到直线AB的距离为
,
∴a
2
b
2
=c
2
(a
2
+b
2
),∴a
2
(a
2
-c
2
)=c
2
(2a
2
-c
2
),∴a
4
-3a
2
c
2
+c
4
=0,∴e
4
-3e
2
+1=0,
解得e
2
=
,∵0<e<1,∴e=
。
点评:中档题,解题的关键是利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,得到原点到直线AB的距离等于半焦距,确定得到a,b,c的关系。
举一反三
已知椭圆
的中心在坐标原点,焦点在
轴上,离心率为
,且过双曲线
的顶点.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)命题:“设
、
是双曲线
上关于它的中心对称的任意两点,
为该双曲线上的动点,若直线
、
均存在斜率,则它们的斜率之积为定值”.试类比上述命题,写出一个关于椭圆
的类似的正确命题,并加以证明和求出此定值;
(3)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于方程
(
,
不同时为负数)的曲线的统一的一般性命题(不必证明).
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的两个焦点为
,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)已知点
,设点
是椭圆
上任一点,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过点
的直线
与椭圆
相切
,直线
与
轴交于点
,当
为何值时
的面积有最小值?并求出最小值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的左、右焦点分别为
、
,若椭圆
上恰好有6个不同的点
,使得
为等腰三角形,则椭圆
的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
过点
,离心率为
,左、右焦点分别为
、
.点
为直线
上且不在
轴上的任意一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
、
和
、
,
为坐标原点.设直线
、
的斜率分别为
、
.
(i)证明:
;
(ii)问直线
上是否存在点
,使得直线
、
、
、
的斜率
、
、
、
满足
?若存在,求出所有满足条件的点
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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