( (本题满分15分)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如图，过圆：上任意一点作椭圆的两条切线． 求证：．

题型：不详难度：来源：

( (本题满分15分
)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，过圆：上任意一点作椭圆的两条切线． 求证：．

答案

解：（Ⅰ）由知
椭圆方程可设为 .
又，直线与椭圆相切，代入后方程
满足 .由此得
故椭圆的方程为    ----------------6分
（Ⅱ）设.当时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好，
可见，另一条切线平行于轴，；   ----------------7分
设，则两条切线斜率存在.设直线的斜率为，
则其方程为

高三数学理科一模参答—4（共6页）

即代入并整理得：             ---------------9分
由可得：            ---------------11分
注意到直线的斜率也适合这个关系，所以的斜率就是上述方程的两根，由韦达定理，.                     ---------------13分
由于点在圆：上，，
所以这就证明了.
综上所述，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，总有.  ------15分

解析

略