曲线C上任一点到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离之和为12．曲线C的左顶点为A，点P在曲线C上，且PA⊥PF2．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求点P的坐标

题型：不详难度：来源：

曲线C上任一点到点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离之和为12．曲线C的左顶点为A，点P在曲线C上，且PA⊥PF₂．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）在y轴上求一点M，使M到曲线C上点的距离最大值为3

7

．

答案

（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．
所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半轴 b=

62-42

=

20

，
所以所求的椭圆方程为

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）由已知A（-6，0），F₂（4，0），设点P的坐标为（x，y）
则

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0.

则 2x²+9x-18=0，解之得x=

3

2

，或x=-6，
由于A，P两点不重合，所以只能取 x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，
所以点P的坐标为 (

3

2

，

5 3

2

)；
（3）设圆M的圆心为（0，n），半径为3

7

，其方程为x²+（y-n）²=63，当此圆与椭圆相切时，使M到曲线C上点的距离最大值为3

7

．
由

x 2+(y-n) 2=63 x 2 36 + y 2 20 =1

消去x得：

63-(y-n) 2

36

+

y2

20

=1
则56y²+40ny+20n²-93=0．
△=0⇒n=6或8．
所求的M的坐标为（0，6）或（0，8）．