曲线C上任一点到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为12.曲线C的左顶点为A,点P在曲线C上,且PA⊥PF2.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)求点P的坐标

曲线C上任一点到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为12.曲线C的左顶点为A,点P在曲线C上,且PA⊥PF2.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)求点P的坐标

题型:不详难度:来源:
曲线C上任一点到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为12.曲线C的左顶点为A,点P在曲线C上,且PA⊥PF2
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)求点P的坐标;
(Ⅲ)在y轴上求一点M,使M到曲线C上点的距离最大值为3


7
答案
(1)设G是曲线C上任意一点,依题意,|GE|+|GF|=12.
所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆,且椭圆的长半袖a=6,半焦距c=4,
所以短半轴 b=


62-42
=


20

所以所求的椭圆方程为
x2
36
+
y2
20
=1

(2)由已知A(-6,0),F2(4,0),设点P的坐标为(x,y)


AP
=(x+6,y),


FP
=(x-4,y)

由已知得





x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0.

则 2x2+9x-18=0,解之得x=
3
2
,或x=-6

由于A,P两点不重合,所以只能取 x=
3
2
,于是y=
5
2


3

所以点P的坐标为 (
3
2
5


3
2
)

(3)设圆M的圆心为(0,n),半径为3


7
,其方程为x2+(y-n)2=63,当此圆与椭圆相切时,使M到曲线C上点的距离最大值为3


7






x 2+(y-n) 2=63
x 2
36
+
y 2
20
=1
消去x得:
63-(y-n) 2
36
+
y2
20
=1

则56y2+40ny+20n2-93=0.
△=0⇒n=6或8.
所求的M的坐标为(0,6)或(0,8).
举一反三
已知F1、F2是椭圆C:
x2
25
+
y2
9
=1
的两个焦点,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积______.
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如图,把椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=______.魔方格
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直线l过椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的右焦点F2
并与椭圆交与A、B两点,则△ABF1的周长是(  )
A.4B.6C.8D.16
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已知△ABC的周长为20,且顶点B (0,-4),C (0,4),则顶点A的轨迹方程是(  )
A.
x2
36
+
y2
20
=1
(x≠0)
B.
x2
20
+
y2
36
=1
(x≠0)
C.
x2
6
+
y2
20
=1
(x≠0)
D.
x2
20
+
y2
6
=1
(x≠0)
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已知动点P(x,y)在椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
上,若A点坐标为(3,0),|


AM
|=1
,且


PM


AM
=0
,则|


PM
|
的最小值是(  )
A.


2
B.


3
C.2D.3
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