已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF1的中点
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF1的中点
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F
1
,左焦点为F
2
,若椭圆上存在一点P,满足线段PF
1
相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF
1
的中点,则该椭圆的离心率为( )
A.
5
3
B.
2
3
C.
2
2
D.
5
9
答案
设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF
1
相切于点M,连结OM、PF
2
,
∵M、O分别为PF
1
、F
1
F
2
的中点,
∴MO
∥
PF
2
,且|PF
2
|=2|MO|=2b,
又∵线段PF
1
与圆O相切于点M,可得OM⊥PF
1
,
∴PF
1
⊥PF
2
,
Rt△PF
1
F
2
中,|F
1
F
2
|=2c,|PF
2
|=2b,
∴|PF
1
|=
|
F
1
F
2
|
2
-|P
F
2
|
2
=
4
c
2
-4
b
2
,
根据椭圆的定义,得|PF
1
|+|PF
2
|=2a,
∴
4
c
2
-4
b
2
+2b=2a,即
c
2
-
b
2
=a-b,
两边平方得:c
2
-b
2
=(a-b)
2
,即a
2
-2b
2
=(a-b)
2
,化简得2ab-3b
2
=0,解得b=
2
3
a,
因此,c=
a
2
-
b
2
=
5
3
a,可得椭圆的离心率e=
c
a
=
5
3
.
故选:A
举一反三
若方程
x
2
a
-
y
2
b
=1表示焦点在y轴上的椭圆,则下列关系成立的是( )
A.
-b
>
a
B.
-b
<
a
C.
b
>
-a
D.
b
<
-a
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
+
y
2
2
=
a
2
(a>0)
和连接A(1,1)、B(2,3)两点的线段没有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.
[0,
6
2
]
B.
[
6
2
,
34
2
]
C.
[
34
2
,+∞]
D.
(0,
6
2
)∪(
34
2
,+∞)
题型:不详
难度:
|
查看答案
若椭圆
x
2
16
+
y
2
25
=1
上一点P到焦点F
1
的距离为6,则点P到另一个焦点F
2
的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
16
+
y
2
12
=1
的左右焦点分别为F
1
、F
2
,则在椭圆C上满足
P
F
1
•
P
F
2
=0
的点P的个数有( )
A.0
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
查看答案
若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为( )
A.
1
4
B.
1
2
C.
2
2
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
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