已知椭圆C:(a>b>0)的长轴长为4。(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;(2)若点P是椭圆C上的
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已知椭圆C:(a>b>0)的长轴长为4。(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;(2)若点P是椭圆C上的
题型:同步题
难度:
来源:
已知椭圆C:
(a>b>0)的长轴长为4。
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为k
PM
、k
PN
,当k
PM
·k
PN
=-
时,求椭圆的方程。
答案
解:(1)由
得
又2a=4,
∴a=2,a
2
=4,b
2
=2,c
2
=a
2
-b
2
=2,
∴两个焦点坐标为(
,0),(-
,0) 。
(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,不妨设:M(x
0
,y
0
),N(-x
0
,-y
0
),P(x,y),
由于M,N,P在椭圆上,则它们满足椭圆方程,即有
两式相减得:
由题意可知直线PM、PN的斜率存在
则
则
由a=2得b=1,
故所求椭圆的方程为
。
举一反三
如图,椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为e
1
,e
2
,e
3
,e
4
,其大小关系为( )。
题型:同步题
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,A
1
,A
2
,B
1
,B
2
为椭圆
(a>b>0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A
1
B
2
与直线B
1
F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为( )。
题型:专项题
难度:
|
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设椭圆的两个焦点分别为F
1
,F
2
,过F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F
1
PF
2
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )。
题型:专项题
难度:
|
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已知以F
1
(-2,0),F
2
(2,0)为焦点的椭圆与直线
有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:专项题
难度:
|
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若抛物线y
2
=2px的焦点与椭圆
的右焦点重合,则p的值为( )。
题型:专项题
难度:
|
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