已知双曲线C:x2a2-y2b2-1(a>0,b>0)的两个焦点为F:(-2,0),F:(2,0),点P(3,7)的曲线C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)记O
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已知双曲线C:x2a2-y2b2-1(a>0,b>0)的两个焦点为F:(-2,0),F:(2,0),点P(3,7)的曲线C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)记O
题型:湖北
难度:
来源:
已知双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
-1(a>0,b>0)
的两个焦点为
F:(-2,0),F:(2,0),点P(3,
7
)
的曲线C上.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为
2
2
,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ):依题意,由a
2
+b
2
=4,得双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
4-
a
2
=1
(0<a
2
<4),
将点(3,
7
)代入上式,得
9
a
2
-
7
4-
a
2
=1
.解得a
2
=18(舍去)或a
2
=2,
故所求双曲线方程为
x
2
2
-
y
2
2
=1
.
(Ⅱ):依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,
得(1-k
2
)x
2
-4kx-6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
1-
k
2
≠0
△=(-4k
)
2
+4×6(1-k
)
2
>0
⇔
k≠±1
-
3
<k<
3
∴k∈(-
3
,-1
)∪(1,
3
).
设E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),则由①式得x
1
+x
2
=
4k
1-
k
2
,
x
1
x
2
=
6
1-
k
2
,
于是,|EF|=
(
x
1
-
x
2
)
2
+
(
y
1
-
y
2
)
2
=
(1+
k
2
)
(
x
1
-
x
2
)
2
=
1+
k
2
•
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
1+
k
2
•
2
2
3-
k
2
|1-
k
2
|
而原点O到直线l的距离d=
2
1+
k
2
,
∴S
△OEF
=
1
2
d•|EF|=
1
2
•
2
1+
k
2
•
1+
k
2
•
2
2
3-
k
2
|1-
k
2
|
=
2
2
3-
k
2
|1-
k
2
|
.
若S
△OEF
=
2
2
,即
2
2
3-
k
2
|1-
k
2
|
=2
2
⇔
k
4
-
k
2
-2=0
,解得k=±
2
,
满足②.故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=
2
x+2
和
y=-
2
x+2
.
举一反三
已知双曲线与椭圆
x
2
9
+
y
2
25
=1
有相同的焦距,它们离心率之和为
14
5
,则此双曲线的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于
,则C的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:广东
难度:
|
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已知双曲线
的一个焦点与抛物线y
2
=4
x的焦点重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的方程为( )
A.
B.x
2
-y
2
=15
C.
D.
题型:湖南模拟
难度:
|
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已知抛物线y
2
=8x的准线过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为______.
题型:天津
难度:
|
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已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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