已知双曲线C:x22-y2=1.(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)已知点M的坐标为(0,1).设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.记λ=MP•MQ
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已知双曲线C:x22-y2=1.(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)已知点M的坐标为(0,1).设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.记λ=MP•MQ
题型:上海
难度:
来源:
已知双曲线
C:
x
2
2
-
y
2
=1
.
(1)求双曲线C的渐近线方程;
(2)已知点M的坐标为(0,1).设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.记
λ=
MP
•
MQ
.求λ的取值范围;
(3)已知点D,E,M的坐标分别为(-2,-1),(2,-1),(0,1),P为双曲线C上在第一象限内的点.记l为经过原点与点P的直线,s为△DEM截直线l所得线段的长.试将s表示为直线l的斜率k的函数.
答案
(1)在双曲线
C:
x
2
2
-
y
2
=1
,把1换成0,
所求渐近线方程为
y-
2
2
x=0, y+
2
2
x=0
(2)设P的坐标为(x
0
,y
0
),则Q的坐标为(-x
0
,-y
0
),
λ=
MP
•
MQ
=(
x
0
,
y
0
-1)•(-
x
0
,-
y
o
-1)
=
-
x
20
-
y
20
+1=-
3
2
x
20
+2.
∵
|
x
0
|≥
2
∴λ的取值范围是(-∞,-1].
(3)若P为双曲线C上第一象限内的点,
则直线l的斜率
k∈(0,
2
2
).
由计算可得,当
k∈(0,
1
2
]时,s(k)=
2
1-
k
2
1+
k
2
;
当
k∈(
1
2
,
2
2
)时,s(k)=
2k+1
k+
k
2
1+
k
2
.
∴s表示为直线l的斜率k的函数是
s(k)=
2
1-
k
2
1+
k
2
k∈(0
1
2
]
2k+1
k+
k
2
1+
k
2
k∈(
1
2
2
2
).
举一反三
过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(b>a>0)
的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x
2
+y
2
=a
2
的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若
OE
=
1
2
(
OF
+
OP
)
(O是坐标原点),则双曲线的离心率为( )
A.
5
B.
3
C.
5
2
D.
6
2
题型:丹东二模
难度:
|
查看答案
已知实数x,y满足
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,则下列不等式中恒成立的是( )
A.
|y|<
b
a
x
B.
y>-
b
2a
|x|
C.
|y|>-
b
a
x
D.
y<
2b
a
|x|
题型:海淀区一模
难度:
|
查看答案
(文)已知P(x,y)是抛物线y
2
=-8x的准线与双曲线
x
2
8
-
y
2
2
=1
的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,求z=2x-y的最大值.
题型:上海模拟
难度:
|
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设F
1
,F
2
是双曲线
x
2
-
y
2
24
=1
的两个焦点,P是双曲线上的点,且|PF
1
|+|PF
2
|=14,则△PF
1
F
2
的面积等于 ______.
题型:汕头二模
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的离心率e∈
[
2
,2]
,在双曲线两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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