我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,
题型:浙江二模难度:来源:
我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是______. |
答案
设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c, 由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos60°, 即4c2=m2+n2-mn, 设a1是椭圆的实半轴,a2是双曲线的实半轴, 由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,m-n=2a2, ∴m=a1+a2,n=a1-a2, 将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12-4a1a2+a12=0, a1=3a2,e1•e2=•==1, 解得e2=. 故答案为:. |
举一反三
已知双曲线x2-=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点( )A.(3,0) | B.(1,0) | C.(-3,0) | D.(4,0) |
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等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点,AB=,则C的实轴长为______. |
设双曲线+=1的离心率为2,且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,则此双曲线的方程为______. |
设F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为______. |
点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( ) |
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