(I)证明:由条件知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2). 当AB与x轴垂直时,可设点A,B的坐标分别为(2,),(2,-), 此时•=(1,)•(1,-)=-1. 当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1). 代入x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0. 则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=,x1x2=, 于是•=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1=-+4k2+1=(-4k2-2)+4k2+1=-1. 综上所述,•为常数-1. (II)证法一:由条件知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2). 设M(x,y),则=(x-1,y),=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(-1,0).由=++得:即 于是AB的中点坐标为(,). 当AB不与x轴垂直时,==,即y1-y2=(x1-x2). 又因为A,B两点在双曲线上,所以x12-y12=2,x22-y22=2,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),即(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y. 将y1-y2=(x1-x2)代入上式,化简得x2-y2=4. 当AB与x轴垂直时,x1=x2=2,求得M(2,0),也满足上述方程. 所以点M的轨迹方程是x2-y2=4. 证法二:同证法一得① 当AB不与x轴垂直时,由(I)有x1+x2=.②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(-4)=.③ 由①②③得x+2=.④y=.⑤ 当k≠0时,y≠0,由④⑤得,=k,将其代入⑤有y==.整理得x2-y2=4. 当k=0时,点M的坐标为(-2,0),满足上述方程. 当AB与x轴垂直时,x1=x2=2,求得M(2,0),也满足上述方程. 故点M的轨迹方程是x2-y2=4. |